设u1，u2，…，un…是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x1，x2…，xn，…}的全体： ∑n=1∞‖xn‖2＜∞ 在u中适

定义u上先行运算，显然u对加法数乘封闭。并且

所以(·，·)有意义，且满足内积条件，故u是内积空间。下面证明完备性。
取u中的基本列{xⁱ}，其中
xⁱ={x₁ⁱ ，x₂ⁱ，…x_nⁱ，…}，于是，对于任意ε＞0，存在N，当i＞N，j＞N时，有

则对于任意固定自然数n，‖x_nⁱ-x_n^j‖≤ε，{x_nⁱ}也是u_n中基本列。设
x_nⁱ→x_n，(i→∞)，
令x={x₁，x₂，…，x_n…}。由以上证明知，对任意k，当i，j＞N时，有

先令j→∞，再令k→∞有

此即xⁱ→x。此外xⁱ-x∈u，从而x=xⁱ-(xⁱ-x)∈u。故u完备。