题目内容
（请给出正确答案）
粒子在一维势场中运动，V(x)＜0，[当x→±∞，V(x)→0]试证明，至少存在一个束缚态(E＜0)．
答案
粒子的总能量算符为
取变分试探波函数(已归一化)为
λ为变分参数．动能和势能的平均值为
其中
能量平均值为
由于
λ→0，
当λ充分小时，式(6)中第二项是主要的，从而
亦即存在束缚能级．
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粒子在势场V(x) =g|x|中运动，其中g＞0，试用变分法求基态能级的上限，试探波函数可取作
)
。
设质量为m的粒子处于势场V(x) =-Kx中，K为非零常数。在动量表象中求与能量E对应的本征波
质量为m的粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动。
(a)建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程。
(b)当粒子处于状态
时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概率，其中
分别是基态和第一激发态。
(c)若上式的ψ(x)是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数。
设一维自由粒子的初态为ψ(x，0)=δ(x)，求t时刻的波函数ψ(x，t)以及|ψ(x，t)|2．已知如下积分公式．
本题通过两个箱中粒子模型的应用实例进行运算：
(1)将KCl晶体放置在金属钾蒸气中加热，K原子受辐射而电离，K→K++e-。K+扩散进入晶体，使晶体的K+离子数目多于Cl-离子数目，晶体的组成变为
，为了保持化合物的电中性，电子e-进入负离子的空位代替Cl-，形成
，晶体显紫红色，这种晶体缺陷结构称色中心。已知Cl-离子半径为181pm，将电子e-看作处于立方体对角线(长为1.73×362pm)作一维势箱运动。试分别求该电子由HOMO→LUMO激发所需的能量以及由LUMO→HOMO所故出光的波长。
(2)金属钾的摩尔体积室温时为45.36cm3mol-1，试计算它的Fermi能级(EF)，分别以J和eV表示，并和实验测定值2.14eV比较。
在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a,如果粒子的状态由波函数
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
