设A是一n级下三角形矩阵,证明:1)如果aii≠ajj当i≠j,i,j=1,2,...,n,那么A相似于一对角矩
设A是一n级下三角形矩阵,证明:
1)如果aii≠ajj当i≠j,i,j=1,2,...,n,那么A相似于一对角矩阵;
2)如果a11=a22=...=ann,而至少有一,那么A不与对角矩阵相似。
设A是一n级下三角形矩阵,证明:
1)如果aii≠ajj当i≠j,i,j=1,2,...,n,那么A相似于一对角矩阵;
2)如果a11=a22=...=ann,而至少有一,那么A不与对角矩阵相似。
1)设A为一个n级实矩阵,且|A|≠0,证明A可以分解成A=QT,其中Q是正交矩阵,T是上三角形矩阵:
ii>0(i=1,2,...,n),并证明这个分解是唯一的;
2)设A是n级正定矩阵,证明存在一上三角形矩阵T,使A=T'T。
设A是n阶下三角形矩阵。
(1)在什么条件下A必可对角化?
(2)如果且至少有一个证明A不可对角化。
证明:如果一个上三角形矩阵
是正交矩阵,那么A一定是对角矩阵,且主对角线上元素aij是1或-1。
设A是一个n级可逆复矩阵,证明:A可以分解成A=UT。其中U是酉矩阵,T是一个上三角形矩阵:
其中对角线元素tii(i=1,2,...,n)都是正实数,并证明这个分解是唯一的。
设A=(aij)是一个n级正定矩阵,而在Rn中定义内积(α,β)为(α,β)=αAβ'。
1)证明:在这个定义之下,Rn成一欧氏空间;
2)求单位向量(0,0,..,1)的度量矩阵;
3)具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。
设V是复线性空间,而线性变换T在基底ε1,ε2,…,εn下的矩阵是一Jordan块,证明: (1)V中包含εn的不变子空间只有V本身; (2)V中任一不变子空间都包含ε1; (3)V不能分解成两个非平凡的不变子空间的直和.
我们知道,复数域C上每一n阶矩阵A都相似于一个上三角形矩阵
令
(i)证明N是幂零矩阵,于是B=D+N。这样能不能作为定理2的证明?
(ii)设,B=D+N是不是B的若尔当分解?B的若尔分解应该是什么样子?
(iii)仔细地读一下定理2,再看一看用(i)作为定理2的证明错在哪里?