设 是n维线性空间V的一组基,又V中向量αn+1在这组基下的坐标全不为零.证明 中任意个向量必
设是n维线性空间V的一组基,又V中向量αn+1在这组基下的坐标全不为零.证明中任意个向量必构成V的一组基,并求a1在基下的坐标.
设是n维线性空间V的一组基,又V中向量αn+1在这组基下的坐标全不为零.证明中任意个向量必构成V的一组基,并求a1在基下的坐标.
设α1,α2,...,αn是n维线性空间V的一组基,A是一nxs矩阵。
证明:的维数等于A的秩。
设V为数域P上的n维线性空间,且V=L(α1,α2,...αn),
(1)证明{α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αn}是V的一组基:
(2)若a∈V在基{α1,α2,...αn}下的坐标为(n,n-1,...,2,1),求α在基{α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αn}下的坐标
设α1,α2,···,αm是n维欧氏空间V中一组向量,而
证明:当且仅当|△|≠0时,α1,α2,···,αm线性无关。
设V和W都是数域F上的向量空间,且dimV=n。令σ是V到W的一个线性映射。我们如此选取V的一个基:α1,···,αs,αs+1,...,αn,使得α1,···,αs是Ker(σ)的一个基。证明:(i)σ(αs+1),...,σ(αn)组成Im(σ)的一个基;
(ii)dim Ker(σ)+dim Im(σ)=n。
设ε1,ε2,ε3是线性空间V的一组基,f1,f2,f3是它的对偶基,
试证α1,α2,α3是V的一组基并求它的对偶基(用f1,f2,f3表出)。
设α1,···,αs和β1,···,βt都是n维向量空间V中的向量,证明其中V(α1,···,αs)表示由α1,···,αs所生成的向量空间。
设ε1,ε2,ε3,ε4四维线性空间V的一组基,已知线性变换在这组基下的矩阵为
1)求在基下的矩阵;
2)求的核与值域;
3)在的核中选一组基,把它扩充成V的一组基,并求在这组基下的矩阵;
4)在的值域中选一组基,把它扩充成V的一组基,并求在这组基下的矩阵。