题目内容
（请给出正确答案）
检验下列集合对指定的加法和数量乘法运算,是否构成实数域上的线性空间:
(1)全体n阶正交矩阵,对矩阵的加法和数量乘法;
(2)平面上全体向量,对通常的向量加法和如下定义的数量乘法k·a=0其中k∈R，a为任意的平面向量,0为零向量.
(3)全体正实数R+,加法与数量乘法定义为
其中a,b∈R+,k∈R.
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检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间。
(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;
(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;
(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法。
对以下定义的集合和运算判别它们能否构成代数系统？如果能，请说明是构成哪一种代数系统？
(1)S1={0，±1，±2，...，±n}，+为普通加法，则S1是Ⓐ。
(2)S2={1/2，0,，2}，*为普通乘法，则S2是Ⓑ。
(3)S3={0，1，...，n-1}，n为任意给定的正整数且n≥2，*为模1乘法，°为模n加法，则S3是Ⓒ。
(4)S4={0，1，2，3}，≤为小于等于关系，则S4是Ⓓ。
(5)S5=Mn(R)，+为矩阵加法，则S5是Ⓔ。
设
其中+和·分別代表普通加法和乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数,为什么？
①对每个自然数m，m+0=m;
②对每一对自然数m和n，m+n'=(m+n)'，
(a)证明用以上定义的加法是可结合的。
(b)用类似方法归纳地定义乘法(可以引用上边定义的加法运算)。
(c)用乘法运算归纳地定义幂运算。
(d)给出关于“小于”的一个归纳定义。
A.S={0,1,3,5},*是模7加法
B.S=Q(有理数集合),*是一般乘法
C.S=N(自然数集合),*是一般加法
D.S={1,3,4,5,9},是模11乘法
A.〈Q-{0},×〉，其中Q为有理数集，×为普通乘法
B.〈G,•〉，其中G={所有n阶可逆方阵}，•是G上的矩阵乘法运算
C.〈R,+〉其中R为实数集，+为普通加法
D.〈Z,+〉,其中Z为整数集，+为普通加法
在整数集合I中,+是普通加法运算,关于+的幺元为(),关于+的零元(),对任意x
I,
-1=().
设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？
根据定理4.9(主教材p178),"W是V的一个子空间的充要条件是W关于V中的两种运算(加法与数量乘法)封闭".因此判断W是否是V的子空间,只要判断W关于V中的两种运算是否封闭.例如:
