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[主观题]

设u=u（x，y)，v=v（x，y)是由方程组所确定的x=x（u,v)，y=y=（u,v)的反函数，求，，，.

设u=u(x，y)，v=v(x，y)是由方程组u+v=x+y,ysinu=xsinv+1 所确定的x=x(u,v)，y=y=(u,v)的反函数，求du，dv.

答案

两个方程两边求微分，
du+dv=dx+dy，
sinudy+ycosudu=sinvdx+xcosvdv，即ycosudu-xcosvdv=sinvdx-sinudy。
看作是以du,dv为未知量的二元一次方程组，解得
du＝((xcosv+sinv)dx+(xcosv-sinu)dy)/(ycosu+xcosv)，
dv＝((ycosu-sinv)dx+(sinu+ycosu)dy)/(ycosu+xcosv)。

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第1题

格林第二公式设函数u=u（x,y)和v=v（x,y)都满足第6题中的假设.证明:

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第2题

设随机变量X与Y的相关系数为ρXY．令函数U=aX+b，V=cY+d，求U与V的相关系数ρUV．

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第3题

设u=u（x,y)与v=v（x,y)都为平面上的调和函数。令。且当p≥2时，在F≠0的点成立

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第4题

设X，Y是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知X的分布律为P(X=i}=1/3，i=1，2，3，又设U=max(X，Y)，V=min(X，Y)，写出二维随机变量(U，V)的分布律。

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第5题

已知随机变量X，Y相互独立，且E(X)=5，D(X)=1，E(Y)=2，D(Y)=1，设U=X-2Y，V=2X-Y，求：(1)数学期望D(U)，D(V);(2)方差D(U)，D(V);(3)cov(U，V)，R(U，V)。

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第6题

设z=2ulnv,而u=x/y,v=3x-2y,求

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第7题

设u=x²-y²+xy为调和函数，试求其共轭调和函数v（x，y)及解析函数 f（z)=u（x，y)+iv（x，y)。

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第8题

设随机变量X与Y相互独立，且X与Y有相同的概率分布，记U=X＋Y，V=X－Y，证明ρUV=0．

设随机变量X与Y相互独立，且X与Y有相同的概率分布，记U=X+Y，V=X-Y，证明ρ_UV=0．

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第9题

设z=z(x，y)满足：，又ω=z-ln(x+y)，试将方程化为ω关于u，v的方程。

设z=z（x，y)满足：，又ω=z-ln（x+y)，试将方程化为ω关于u，v的方程。

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第10题

设二维连续型随机变量（X，Y）在区域G={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，记U={0，若X≤Y；1，X〉Y}，V={

0，若X≤2Y；1，X〉2Y}

（1）求（U，V）的联合分布律；

（2）求U与V的相关系数ρ_UV。

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第11题

设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域Ω上具有一阶及二阶连续偏导数，证明其中是闭区域Ω的整个边界

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其中是闭区域Ω的整个边界曲面，为函数v(x,y,z)沿的外法线方向的方向导数。这个公式叫做格林第一公式.

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