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[主观题]

证明:若函数f(x)定义域是R,则F₁(x)=f(x)+f(-x)是偶函数;F₂(x)=f(x)-f(-x)是奇函数,并写出函数f(x)=a^x与f(x)=(1+x)ⁿ的F₂(x)与F₂(x).

证明:若函数f（x)定义域是R,则F₁（x)=f（x)+f（-x)是偶函数;F₂（x)=f（x)-f（-x)是奇函数,并写出函数f（x)=a^x与f（x)=（1+x)ⁿ的F₂（x)与F₂（x).

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第1题

设函数f(x)与g(x)有相同的定义域,证明:(1)若f(x)与g(x)都是偶函数,则f(x)g(x)是偶函数;(2)若f(x)与g(x)都是奇函数,则f(x)g(x)是偶函数;(3)若f(x)与g(x),一个是偶函数另一个是奇函数,则f(x)g(x)是奇函数.

设函数f（x)与g（x)有相同的定义域,证明:（1)若f（x)与g（x)都是偶函数,则f（x)g（x)是偶函数;（2)若f（x)与g（x)都是奇函数,则f（x)g（x)是偶函数;（3)若f（x)与g（x),一个是偶函数另一个是奇函数,则f（x)g（x)是奇函数.

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第2题

证明:若函数f(x)在R有任意阶导函数,且函数列{f⁽ⁿ⁾(x)}在R一致收敛于极限函数φ(x),则φ(x)=ce^x,其中c是常数.

证明:若函数f（x)在R有任意阶导函数,且函数列{f^（n)（x)}在R一致收敛于极限函数φ（x),则φ（x)=ce^x,其中c是常数.

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第3题

证明:若函数f(x)在R可导,|f´(x)|≤k,且k＜1,则函数f(x)存在不动点x,即f(x)=x.

证明:若函数f（x)在R可导,|f´（x)|≤k,且k＜1,则函数f（x)存在不动点x,即f（x)=x.

证明:若函数f(x)在R可导,|f´(x)|≤k,且k＜1,则函数f(x)存在不动点x,即f(x)=x.

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第4题

证明:设f（x)为幂级数在（-R,R)上的和函数,若f（x)为奇函数,则该级数仅出现奇次幂的项,若f（x)为偶

证明:设f(x)为幂级数在(-R,R)上的和函数,若f(x)为奇函数,则该级数仅出现奇次幂的项,若f(x)为偶函数,则该级数仅出现偶次幂的项.

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第5题

证明:若函数f(x,y)与g(x,y)在有界闭区域R可积,则乘积函数f(x,y)g(x,y)在R也可积.(参见教材88.3中定理4的证明.)

证明:若函数f（x,y)与g（x,y)在有界闭区域R可积,则乘积函数f（x,y)g（x,y)在R也可积.（参见教材88.3中定理4的证明.)

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第6题

若函数f（x)是某随机变量X的概率密度函数，则一定成立的是（）。

A.f(x)的定义域是[0，1]

B.f(x)的值域是[0，1]

C.f(x)非负

D.f(x)在（-∞，+∞）内连续

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第7题

设f,g均为定义在[a,b]上的有界函数.证明:若仅在[a,b]中有限个点处f(x)≠g(r).则当f在[a,b]上可

设f,g均为定义在[a,b]上的有界函数.证明:若仅在[a,b]中有限个点处f（x)≠g（r).则当f在[a,b]上可

积时,g在[a,b]上也可积,且

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第8题

叙述并证明二元连续函数的局部保号性.局部保号性:若函数f（x,y)在点（x₀,y₀)连续,而且f（

叙述并证明二元连续函数的局部保号性.

局部保号性:若函数f(x,y)在点(x₀,y₀)连续,而且f(x₀,y₀)≠0则函数f(x,y)在点(x₀,y₀)的某一领域内与f(x₀,y₀)同号,则存在某一正数r(f(x₀,y₀)＞r),使得任意(x,y)∈U(P₀,δ),∣f(x,y)∣≥r＞0.

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第9题

证明:若函数f(x)在R是周期函数,且则有f(x)=0(或f(x)=0).

证明:若函数f（x)在R是周期函数,且则有f（x)=0（或f（x)=0).

证明:若函数f(x)在R是周期函数,且则有f(x)=0(或f(x)=0).

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第10题

设f（x)=d（x)f₁（x)，g（x)=d（x)g₁（x)证明：若（f（x)，g（x))=d（x)且f（x)和g（x)不全为零，则（f₁（x)，g₁（x))=1;反之，若（f₁（x)，g₁（x))=1，则d（x)是f（x)与g（x)的一个最大公因式。

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