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[主观题]
证明反常积分中柯西判别法的极限形式:（1)设函数f（x)在区间（a,b]上连续（a是奇点).若有某个正数μ
证明反常积分中柯西判别法的极限形式:
(1)设函数f(x)在区间(a,b]上连续(a是奇点).
若有某个正数μ＜1,使![证明反常积分中柯西判别法的极限形式:（1)设函数f（x)在区间（a,b]上连续（a是奇点).若有某个](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-13/976730858308305.png)
则![证明反常积分中柯西判别法的极限形式:（1)设函数f（x)在区间（a,b]上连续（a是奇点).若有某个](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-13/976730870424998.png)
收敛.
若有某个正数μ≥1,使![证明反常积分中柯西判别法的极限形式:（1)设函数f（x)在区间（a,b]上连续（a是奇点).若有某个](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-13/976730884736816.png)
(包括l=+∞),则![证明反常积分中柯西判别法的极限形式:（1)设函数f（x)在区间（a,b]上连续（a是奇点).若有某个](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-13/976730894859395.png)
发散.
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证明反常积分中柯西判别法的极限形式:
(1)设函数f(x)在区间(a,b]上连续(a是奇点).
若有某个正数μ＜1,使则收敛.
若有某个正数μ≥1,使(包括l=+∞),则发散.
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设f(z)在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数，n为正整数。
1)试用柯西积分公式证明
C的最短距离，试用积分估值公式与1)中的等式，证明不等式
3)令n→+∞，对2)中的不等式取极限,证明： |f(z)|≤M。这个结果表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得(最大模原理)。
设点c∈(a,b)是函数f(x)的瑕点,
积分
存在(注意,
中是同一个
.若极限
存在称此极限是积分
的柯西主值,记为
同样,函数f(x)在无限区间(-∞,+∞)积分和柯西主值是
求下列积分的柯西主值:
证明:极限
存在
0＜|P1-P0|＜δ与0＜|P2-P0|＜δ,有|f(P1)-f(P2)|＜ε(柯西收敛准则).
(1)以
为例,叙述并证明反常积分的保序性和区间可加性;
(2)举例说明,对于反常积分不再成立乘积可积性.
证明:设φ(ζ)在一条简单曲线C上连续，这里C不一定是闭的，那么在不含C上的点的任何区域D内，函数
解析，并且有任意阶导数:
确定φ(z)的积分称为柯西型积分，在这里即使C是闭的，沿C的积分也不一定是按反时针方向取的。
存在的柯西收敛准则及其否定叙述,并证明:
发散。
