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[主观题]
设函数项级数在D上一致收敛于S（x),函数g（x)在D上有界,证明级数在D上一致收敛于g（x)S（x).
设函数项级数
在D上一致收敛于S(x),函数g(x)在D上有界,证明级数
在D上一致收敛于g(x)S(x).
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设{un}(x)为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列,每个un(x)都是[a,b]上的单调函数.则级数![设{un}（x)为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列,每个un（x)都是[a,b]上的单调函数.](https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-05/978720178934363.png)
在[a,b]上一致收敛.
证明:若函数项级数
在区间I一致收敛,则函数列{un(x)}在区间I一致收敛于0.反之是否成立？考虑函数项级数
在区间(0,1)的情况.
证明:若函数项级数![证明:若函数项级数在[a,b]一致收敛于和函数S（x),且函数un（x)在[a,b]可积,则和函数S](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-13/974118907131862.jpg)
在[a,b]一致收敛于和函数S(x),且![证明:若函数项级数在[a,b]一致收敛于和函数S（x),且函数un（x)在[a,b]可积,则和函数S](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-13/974118929095118.png)
函数un(x)在[a,b]可积,则和函数S(x)在[a,b]也可积.
证明:若函数项级数![证明:若函数项级数在开区间（a,b)一致收敛于和函数S（x),且函数un（x)在闭区间[a,b]连续](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-13/974118792493305.jpg)
在开区间(a,b)一致收敛于和函数S(x),且![证明:若函数项级数在开区间（a,b)一致收敛于和函数S（x),且函数un（x)在闭区间[a,b]连续](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-13/974118807719176.png)
函数un(x)在闭区间[a,b]连续,则和两数S(x)在闭区间[a,b]连续.
设有函数序列fn(x)(a≤x≤b,n=1,2,...证明:
(1)若每一个函数fn(x)都在区间[a,b]上连续,而丽数序列fn(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f(x),则函数f(x)在区间[a,b]上也连续,且
(2)若
,又每一个函数fn(x)都有连续的导数f'n(x),且导函数列f'n(x)在区间[a,b]上一致收敛,则极限函数f(x)在区间[a,b]上也有连续的导数f'(x),且
,即
[可以直接证明,也可以利用函数项级数的相应结论来证明]
设un(x)(n=1,2,...)是[a,b]上的单调函数.证明:若![设un（x)（n=1,2,...)是[a,b]上的单调函数.证明:若与都绝对收敛,则级数在[a,b]](https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-05/978719914912262.png)
与![设un（x)（n=1,2,...)是[a,b]上的单调函数.证明:若与都绝对收敛,则级数在[a,b]](https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-05/978719923549756.png)
都绝对收敛,则级数![设un（x)（n=1,2,...)是[a,b]上的单调函数.证明:若与都绝对收敛,则级数在[a,b]](https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-05/978719938463609.png)
在[a,b]上绝对且一致收敛.
设实函数f(x)，fn(x)(n=1，2，…)在紧空间X上连续。如果{fn(x)}是单调函数列，且对每个x∈X，有{fn(x)}→f(x)，那么{fn(x))在X上一致收敛于f(x)。
设每一项φn(x)都是[a, b]上的单调函数，如果![设每一项φn（x)都是[a, b]上的单调函数，如果在[ a, b]的端点为绝对收敛，那么这级数在[](https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-25/980441908825078.png)
在[ a, b]的端点为绝对收敛，那么这级数在[a,b]上一致收敛.
证明若函数项级数![证明若函数项级数在[a,b]一致收敛,且函数φ（x)在[a,b]有界,则函数项级数在[a,b]也一致](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-13/974116559128564.jpg)
在[a,b]一致收敛,且函数φ(x)在[a,b]有界,则函数项级数![证明若函数项级数在[a,b]一致收敛,且函数φ（x)在[a,b]有界,则函数项级数在[a,b]也一致](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-13/974116574658452.jpg)
在[a,b]也一致收敛.
