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试证明: 设z=f(u,v)是R2上的连续函数,g1(x),g2(x)是上的实值可测函数,则F(x)=f(g1(x),g2(x))是[a,b]上的可
试证明:
设z=f(u,v)是R2上的连续函数,g1(x),g2(x)是
[a,b] 上的实值可测函数,则F(x)=f(g1(x),g2(x))是[a,b]上的可测函数.![](https://static.youtibao.com/asksite/comm/h5/images/m_q_a.png)
[证明] 对任意t∈R1,令Gt={(u,v):F(u,v)>t}=F-1((t,∞)),则
{x∈I:F(x)>t}={x∈I:(f(x),g(x))∈Gt}.
若Gt是开矩形:Gt=(a1,b1)×(c1,d1),则
(x∈I:F(x)>t}=(x∈I:g1(x)∈(a1,b1),g2(x)∈(c1,d1)}
={x∈I:g1(x)∈(a1,b1)}∩{x∈I:g2(x)∈(c1,d1)}.
对开集Gt,将其分解为可数个开矩形之并集:Jn=(an,bn)×(cn,dn),
∩{x∈I:g(x)∈(cn,dn)}).
由此知F(x)在I上可测.
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