试证明柯西积分判别法 设f(x)在x≥1上非负、连续且单调减,则级数∑n=1+∞f(n)与广义积分∫1+∞f(x)dx同敛散.
试证明柯西积分判别法
设f(x)在x≥1上非负、连续且单调减,则级数∑n=1+∞f(n)与广义积分∫1+∞f(x)dx同敛散.
由于当k≤x≤k+1时,
f(k+1)≤f(x)≤f(k)
因此 ak+1=f(k+1)≤∫kk+1f(x)dx≤f(k)=ak
从而 ∑k=1nak+1≤∑k=1n∫kk+1f(x)dx=∫1n+1f(x)dx≤∑k=1nak
即 ∑k=1n+1ak-a1≤∫1n+1f(x)dx≤∑k=1nak
由上式不难看出∑n=1+∞f(n)与∫1+∞f(x)dx同敛散.