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设单粒子能级的定态波函数是
的本征态，记为
能级与m无关,为
重简并，设有两个全同粒子处于此能级上。证明：(a)交换对称态和反对称态的数目分别为(j+1) (2j+1)和j (2j+1)，(b)无论粒子是Bose子或Fermi子，体系的角动量J必为偶数。
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电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为
能量本征态记为ψn，能级
，总能量算符变成
(2)
H的本征态记为φn，本征值为En．
设t≤0时该谐振子处于基态ψ0，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψn的成分．
设粒子处于无限深方势阱
中，粒子波函数为
，A为归一化常数，(a) 求A;(b) 求测得粒子处于能量本征态
的概率
。特别是
作图，比较
曲线，从
来说明两条曲线非常相似，即
几乎与基态
完全相同。
设粒子处于无限深方势阱
中，粒子波函数为
，A为归一化常数，设粒子处于基态(n=1)，
设t=0时刻阱宽突然变为2a，粒子波函数来不及改变，即
试问：对于加宽了的无限深方势阱
是否还是能量本征态？求测得粒子处于能量本征值
的概率。
设粒子开始时处于基态(n=1)，
．在t=0时刻阱宽突然从右边变为2a，而粒子波函数来不及改变，即在0≤x≤a
而对于x＜0或者x＞a，ψ(x，0)=0．试问，对于加宽了的势阱
ψ(x，0)是否还是能量本征态？求测得粒子能量仍为E1的几率．
(a)电子在一维区域
自由运动，波函数满足周期性边界条件ψ(x)=ψ(x+L)．试写出动量和Hamilton量的共同本征函数(不考虑自旋)；
(b)加上微扰H'=εcosqx，其中Lq=4πN(N为大的正整数)．试就电子动量|p|=qh/2的情况求能级和定态波函数，准确到ε量级；
(c)再计算情况(b)的能级修正，至ε2量级；
(d)对于|p|接近(但不等于)qh/2的情况，重复(b)和(c)的能级计算．
设粒子限制在矩形匣子中运动，即
求粒子的能量本征值和本征波函数，如a=b=c，讨论能级的简并度。
有一量子力学体系，能级和能量本征态记为En，
，n=0，1，2，…．t≤0时，体系处于基态
．t≥0时受到微扰H'(x，t)=F(x)e-t/τ作用．试用一级微扰论计算经过足够长时间(
)后体系处于激发态ψn的概率．
一维无限深势阱中粒子的定态波函数为
。
试求：(1)粒子处于基态时；
(2)粒子处于n=2的状态时，在x=0到a/3之间找到粒子的概率。
求粒子能量和相应的本征态．如a=b，试讨论前5条能级简并情况．
．试求：
