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[判断题]
若存在点x0的某个邻域U(x0;δ),使当x∈U(x0;δ)时,都有f(x)=g(x),则f(x)与g(x)在点x0处或同时可导或同时不可导,若可导,则f'(x0)=g'(x0)。()
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证明:若f'x(x,y),f´y(x,y)和f"xy(x,y)在点P0(x0,y0)的邻域存在,且f"xy(x,y)在点P0(x0,y0)连续,则f"yz(x,y)在P0(x0,y0)也存在,且
f"xy(x0,y0)=f"yz(x0,y0)(比定理1的条件弱).
叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
局部保号性:若函数f(x,y)在点(x0,y0)连续,而且f(x0,y0)≠0则函数f(x,y)在点(x0,y0)的某一领域 内与f(x0,y0)同号,则存在某一正数r(f(x0,y0)>r),使得任意(x,y)∈U(P0,δ),∣f(x,y)∣≥r>0.
设(x0,y0,z0,u0)满足方程组
这里所有的函数假定有连续的导数.
(1)说出一个能在该点邻域内确定x,y,z为u的函数的充分条件;
(2)在f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3的情形下,上述条件相当于什么?
若函数u=ϕ(x)在点x=x0处可导,而y=f(u)在点处不可导,则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x0处必不可导.()
f(x)在x0的某一去心邻域内有界是存在的()条件,存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的()条件.(填“充分”或“必要”或“充分必要”)
f(x)在x0的某一去心邻域内有界是f(x)存在的______条件.f(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的_____条件.
设f在U°(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}CU0(x0)且,极限都存在,则所有这些极限都相等.