题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
设X为Banach空间，Y为赋范空间，F：X→Y为线性算子。假设任取{xn}为X中序列使得xn→0且{F（xn)}为柯西列，则在Y中必
设X为Banach空间，Y为赋范空间，F：X→Y为线性算子。假设任取{xn}为X中序列使得xn→0且{F(xn)}为柯西列，则在Y中必有F(xn)→0。求证：F∈BL(X，Y)
答案
设J：Y→Y"为典范映射，G=J·F。则G：X→Y"为线性算子。为了证明G的图像为闭集，我们设在X中有xn→x，在Y"中有G(xn)→y"。设un=xn-x，则un→0且
G(un)=G(xn)-G(x)→y|-G(x)，
因此{G(un)}为柯西列。由于J为等距，故
‖G(un-um)‖=‖J·F(un-um)‖=‖F(un-um)‖，
‖G(un)-G(um)‖=‖F(un)-F(um)‖
所以{F(un)}为Y中的柯西列。由题设知必有F(un)→0。因此
G(un)=J·F(un)→0，
G(xn)=G(un)+G(x)→G(x)
所以有y"=G(x)。这就证明了G的图像为闭的。由于X和Y"为Banach空间，故由闭图像定理知G为连续的。因此
‖F(x)‖=‖J·F(x)‖=‖G(x)‖≤‖G‖ ‖x‖
这就证明了F为有界的。
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，这里α是实(或复)数，
是f的零空间。
，
是可测空间，X是可分的Banach空间，证明：
与平面z=0所围成，其密度函数为μ(x，y，z)=z，求Ω的重心。
为n维实向量空间，对
，试证明定义式(x，x)A=(Ax，x)为
是P[x]的线性子空间:
