设函数f（x)在[a，b]上连续，在（a，b)内可导，且f'（x)≤0，，证明在（a，b)内F'（x)≤0．

因为函数f(x)在[a，b]上连续，所以F(x)在[a，b]内可导，且
F(x)=∫ [a-->x] f(t)dt/(x-a)
F'(x)=( f(x)(x-a)-∫ [a-->x] f(t)dt )/(x-a)^2由积分中值定理，存在ξ∈(a,x),使∫ [a-->x] f(t)dt=f(ξ)(x-a)所以F'(x)=( f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a) )/(x-a)^2=(f(x)-f(ξ))/(x-a)又f'(x)≤0，所以f(x)在[a，b]上单调递减，
于是，f(x)≤f(ξ)，所以当x∈(a，b)时，F'(x)≤0．