求过点（1，0，3)且与椭圆抛物面相交，交线恰为圆的所有平面方程。

解决本题的关键是理解下列事实：由直角坐标变换公式知道，一个平面与一个二次曲面的交线是圆这件事只与曲面的二次项系数有关，即经过适当的坐标变换后，这平面方程的一次项及常数项确定圆心的位置和半径．因而当一个平面与椭圆抛物面的交线是圆时，这平面与椭圆柱面的交线也是圆．另外，如果能求出过原点的平面与这椭圆柱面的交线是圆，那么与这平面平行的平面，只要与这椭圆柱面有交线，则交线也必是圆，这是因为经过适当的坐标变换后，过原点的平面的方程化为z'=0，二次曲面的方程可变为
a₁₁x'²+a₂₂y'²+2a₃₃z'²+2a₁₂x'y'+2a₁₃x'z'+2a₂₃y'z'+2b₁x'
+2b₂y'+2b₃z'+D=0 (1)
那么，过原点的平面z'=0与二次曲面的交线方程是
a₁₁x'²+a₂₂y'²+2a₁₂x'y'+2b₁x'+2b₂y'+D=0 (2)
方程(2)表示圆当且仅当a₁₁=a₂₂和a₁₂=0时，与平面z'=0平行的平面方程为z'=h(h为常数)，代入方程(1)，如果这平面与二次曲面有交线，则交线方程为
a₁₁x'²+2a₁₂x'y'+a₂₂y'²+2b₁x'+2b₂y'+2a₁₃hx'+2a₂₃hy'
+(2a₃₃h²+2b₃h+D)=0
当且仅当a₁₁=a₁₂和a₁₂=0时，这交线是圆。
对于本题，先用过原点的平面Ⅱ:Ax+By+Cz=0去截这个椭圆柱面，考虑交线是圆的情况．若点(x，y，z)在交线圆上，则点(-x，-y，-z)也在交线圆上，即原点必为交线圆的圆心，设交线圆的半径为R，因而这交线圆必在以原点O为球心，半径为R的球面上，故交线圆上任一点M(x，y，z)的坐标满足

该方程中，两式相减得
(3)
由于交线圆上任一点(x，y，z)满足(3)式，则对任意实数t，(tx，ty，tz)也满足(3)式，即交线圆所在的平面上任一点必在二次曲面(3)上，因而，方程(3)左端3个系数中必有一个为零(否则，如果都不为零的话。那么(3)式表示一个二次锥面方程。不可能含有整个平面作为其一部分)，由于

则必有

因此，由(3)式，有

将上式两端乘以144，得9z²-7y²=0，即和
过点(1，0，3)作上述两平面的平行面，有和，这就是所求的所有平面。