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[主观题]

设A为s×m矩阵,B为s×n矩阵。证明:r(A,B)≤r(A)+r(B)。

设A为s×m矩阵,B为s×n矩阵。证明:r(A,B)≤r(A)+r(B)。

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第1题
设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,证明:AB=O的充分必要条件是B的每一列向量是齐次线性方程组Ax=0的解。

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第2题
设A是s×n矩阵,A的秩为r,b是s维非零列向量。证明线性方程组Ax=b有解时,共有n-r+1个线性无关的解向量。

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第3题
设A,B均为s×n矩阵,证明:r(A+B)≤r(A)+r(B)。
设A,B均为s×n矩阵,证明:r(A+B)≤r(A)+r(B)。

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第4题
设S是复数域上一个n阶对称矩阵,证明存在复数域上一个矩阵A,使得S=ATA。

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第5题
设A是nXm矩阵,B是mXn矩阵,其中n<m,E为n阶单位矩阵,若AB=E,证明:B的列向量组线性无关。

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第6题
设A为秩为r的m×n矩阵。证明:存在秩为r的m×r矩阵G和秩为r的r×n矩阵H,使得A=GH(矩阵的这种分解通常称为满秩分解)。
设A为秩为r的m×n矩阵。证明:存在秩为r的m×r矩阵G和秩为r的r×n矩阵H,使得A=GH(矩阵的这种分解通常称为满秩分解)。

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第7题
设A是一个正定对称矩阵。证明存在一个正定对称矩阵S使得A=S2

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第8题
设S是非零的反称实矩阵,证明:1)|E+S|>1;2)设A是正定矩阵,则|A+S|>|A|。

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第9题
设α1,α2,…,αs线性无关,且记C=(cij)sxt,证明向量组β1,β2,…,βt
设α1,α2,…,αs线性无关,且记C=(cij)sxt,证明向量组β1,β2,…,βt

设α1,α2,…,αs线性无关,且记C=(cij)sxt,证明向量组β1,β2,…,βt的秩等于矩阵C的秩r(C)。

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第10题
设S={1,2,3,4},R为S上的关系,其关系矩阵是则(1)R的关系表达式是。(2)domR=,ranR=。(3)R°R中有个

设S={1,2,3,4},R为S上的关系,其关系矩阵是

则(1)R的关系表达式是

(2)domR=,ranR=

(3)R°R中有个有序对。

(4)R-1的关系图中有个环。

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