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[主观题]

设G是有限群，且H＜G．证明：设群G是其子群G1与G2的直积，即 G=G1×G2．证明：G／G1≌G2， G／G2≌G1．

设群G是其子群G1与G2的直积，即 G=G1×G2．证明：G／G1≌G2， G／G2≌G1．

答案

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因为G=G1×G2,故G／G1={aG1|a∈G2}．现定义：φ：G／G1→G2,aG1→a．由G1∩G2={e}知,对aG1,bG1∈G／G1(a,b∈G2)有又因为φ(aG1.bG1)=φ(abG1)=ab=φ(aG1)φ(bG1),故φ为同构映射,因此G／G1≌G2．同理可证,G／G2≌G1．

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更多“设G是有限群，且H＜G．证明：设群G是其子群G1与G2的直积…”相关的问题

第1题

设H，K是群G的两个有限正规子群，并且（H|，|K|)=1．证明：如果商群G／H和G／K都是交换群，则G也是交换群

设H，K是群G的两个有限正规子群，并且(H|，|K|)=1．证明：如果商群G／H和G／K都是交换群，则G也是交换群．

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第2题

设G是群，K≤H≤G．又A={a1，a2，…)与B={b1，b2，…}分别为G关于H和H,关于K的左陪集代表系．证明： AB={aib

j|ai∈A，bj∈B} 是G关于K的一个左陪集代表系．

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第3题

设群,其中A'表示A的转置，证明H是G的子群.

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第4题

设G为群,且存在a∈G,使得证明G是交换群

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第5题

设＜ G,*＞是一个偶数阶的群，设＜ H,*＞是＜ G,*＞的一个子群，这里|H|=|G|/2，证明＜ H,*＞是正规子群。

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第6题

设＜ H,*＞是群＜ G,*＞的一个子群,如果A={x|x∈G,x*H*x^-1=H}, 证明:＜ A,*＞是＜ G,*＞的一个子群。

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第7题

设K和H都是群G的子群，试证明：若H•K是G的子群，则K•H=H•K。

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第8题

设＜ H,‧＞和＜ K,‧＞都是群＜ G,‧＞的子群,令HK={h‧k|h∈H,k∈K},证明:＜ HK,‧＞是＜ G,‧＞的子群的充要条件是HK=KH。

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第9题

设G是群，~为G的元素之间的等价关系，并且∀a，x，y∈G，有ax~ay⇒x~y证明H={x│x∈G，x~e}是G的子群，其中e是G的单位元。

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第10题

（1)设G={0，1，2，3}，若☉为模4乘法，则＜G，☉＞构成Ⓐ。（2)若⊕为模4加法，则＜G，⊕＞是Ⓑ阶群，且是Ⓒ。G中的2阶元是Ⓓ，4阶元是Ⓔ。供选择的答案A：①群;②半群，不是群。B：③有限;④无限。C：⑤Klein四元群;⑥置换群;⑦循环群。D，E：⑧0;⑨1和3;⑩2。

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第11题

设是一个群,H,K是其子群.定义G上的关系R:对任意a,bG,aRb存在hH,k K,使得b=h*a*k,则R是G上的等

设是一个群,H,K是其子群.定义G上的关系R:对任意a,bG,aRb存在hH,kK,使得b=h*a*k,则R是G上的等价关系.

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